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Para seguir el hilo de cómo llegamos al concepto de función actual
Función Matemática Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. Como tal no se habría empezado a desarrollar sino hasta el siglo XVII con el desarrollo del cálculo, pero las ideas que lo sugieren han estado presente siempre. Usualmente una función es definida, de manera informal, como una regla que asigna a objetos, otros, de forma tal que no pueden ser asignados dos objetos distintos a uno mismo. Se ilustran a continuación dos relaciones, representadas por las flechas, donde una resulta ser una función y la otra no. Allí donde este concepto encontraría su máxima expresión sería en la matemática. En primer lugar, atendiendo a funciones donde los objetos involucrados son números. Un noble ejemplo es tomar dos variables e igualar una a operaciones aplicadas sobre la otra. La generalización se lleva a cabo no limitando a estos objetos a ser números. En algún momento todo se formaliza. La noción de función, para ser precisa, debería ser formalizable (esto es, expresable) de acuerdo a la noción de conjunto, en el seno de la teoría de conjuntos. Esta formalización terminaría desembocando en su definición actual. Dados dos conjuntos A y B, una función es una terna (A, B, G), donde G es un sub de A times B, donde se cumple que … tal cosa. Una fuente común de confusión suele ser la notación y la rigurosidad que se alenta a los estudiantes. Vale la pena decir que si bien los conceptos deben ser en su contexto debidamente tratados y rigurosos, la notación usualmente no lo es tanto. Esto no quiere decir que se le de un tratamiento informal a la materia, sino que se entiende que por convención la gente sabe de qué se está hablando. La notación que se utiliza — Problemática Inicialmente no se hacían problema por un concepto como el de función. Se hablaba de cantidades o de variables. La primera necesidad de un concepto de función surgió con el problema de la cuerda vibrante. D’Alembert y Euler llegan a la conclusión de que el movimiento de la cuerda puede deducirse de la posición inicial de la misma. El problema surgía cuando se intentaba acordar qué tipo de curva o qué características debería cumplir esta posición inicial. D’Alembert sostenía que la función inicial debía ser una expresión analítica, que debía ser impar y periódica de período 2L. Euler sostenía que podía ser cualquier curva trazada arbitrariamente. —--------------------------------------------------------------------------------------------- Nicolás de Oresme (1323 - 1382) Concibió una primitiva idea de función, como “todo lo que varía, se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una cantidad continua representada por un segmento”. Rene Descartes (1596 - 1650) Presentó el concepto como una relación entre dos variables, que representada da lugar a una curva. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) Es el primero en utilizar el término función. The term "function" was literally introduced by Gottfried Leibniz, in a 1673 letter, to describe a quantity related to points of a curve, such as a coordinate or curve's slope. Johann Bernoulli (1667 - 1748) Define el concepto de función como “Una función de una variable es definida como una cantidad compuesta de alguna manera por una variable y constantes”. Se entiende el “de alguna manera” como algebraica o trascendentalmente. Utiliza por primera vez los términos de constante, variable y parámetro. Johann Bernoulli started calling expressions made of a single variable "functions." In 1698, he agreed with Leibniz that any quantity formed "in an algebraic and transcendental manner" may be called a function of x. By 1718, he came to regard as a function "any expression made up of a variable and some constants." Leonhard Euler (1707 - 1783) Introductio in analysin infinitorum, published in 1748: A function of a variable quantity is an analytic expression composed in any way whatsoever of the variable quantity and numbers or constant quantities. Euler also allowed multi-valued functions whose values are determined by an implicit equation. In 1755, however, in his Institutiones calculi differentialis, Euler gave a more general concept of a function: When certain quantities depend on others in such a way that they undergo a change when the latter change, then the first are called functions of the second. This name has an extremely broad character; it encompasses all the ways in which one quantity can be determined in terms of others. Dio la definición “Cuando ciertas cantidades dependen de otras de tal forma que, al variar las últimas, varían también las primeras, entonces las primeras se llaman funciones de las segundas.” Esta definición era bastante vaga y no decía nada sobre la naturaleza de la relación entre las variables dependientes e independientes. Introdujo la notación f(x) para hablar de una función en la variable x. Jean le Rond D'Alembert (1717 - 1783) Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) Sylvestre Lacroix (1765 - 1843) Joseph Fourier (1768 - 1830) Plantea cómo calcular los coeficientes de las series de Daniel Bernoulli para el problema de la cuerda vibrante. Con esto In his Théorie Analytique de la Chaleur, Fourier claimed that an arbitrary function could be represented by a Fourier series. Fourier had a general conception of a function, which included functions that were neither continuous nor defined by an analytical expression. Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857) Cauchy thought of functions as being defined by equations involving real or complex numbers, and tacitly assumed they were continuous. Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859) Publica en 1837 su definición de función: “Si a cualquier x corresponde un solo y finito, es decir, de tal manera que, cuando x pasa continuamente por el intervalo de a hasta b, y = f(x) también varía poco a poco, entonces y es llamada función continua de x. Sin embargo, no es necesario que y en todo este intervalo dependa de x según la misma ley, ni siquiera pensar en una dependencia expresable en términos de operaciones matemáticas”. If now a unique finite y corresponding to each x, and moreover in such a way that when x ranges continuously over the interval from a to b, {\displaystyle {y=f(x)}}{\displaystyle {y=f(x)}} also varies continuously, then y is called a continuous function of x for this interval. It is not at all necessary here that y be given in terms of x by one and the same law throughout the entire interval, and it is not necessary that it be regarded as a dependence expressed using mathematical operations. His definition is for continuous functions. Serguéi Sóbolev (1908 - 1989) Introduce las distribuciones o funciones generalizadas en 1935. Laurent Schwartz (1915 - 2002) Formalizó la teoría de distribuciones a finales de la década de 1940.